第四次作业
重复 Child-Langmuir 的推导过程, 并计算 200 kV, 5 cm 间距极板中的流强密度
设平板二极管阴极位于 , 阳极位于 , 两极板间电压为 . 取电势为 , 满足
设电子从阴极表面近似静止出发, 由能量守恒有
故电子速度为
稳恒条件下, 电流密度 为常数. 设电荷密度大小为 , 则
所以
由 Poisson 方程,
代入上式得
即
令
则有
两边同乘 , 得
即
积分得
在空间电荷限制条件下, 阴极表面电场为零, 即
故积分常数 . 于是
取正根,
分离变量并积分:
得
在 处有 , 所以
从而
两边平方得
再代回
得到 Child-Langmuir 定律
代入数值
故
也可写成
因此, 极板中的空间电荷限制流强密度为
无限长圆柱分布电子束流在 处电子受到的力
设电子束半径为 , 束流流强为 , 且在圆柱内均匀分布.
设电子束速度为 , 则线电荷密度大小为
体电荷密度大小为
对半径为 的均匀带电圆柱, 在柱内半径 处的电场大小为
因此在边界 处,
电场方向指向圆柱轴心, 但电子带负电, 所以电子受到的电场力方向为径向向外. 其大小为
均匀电流圆柱在柱内半径 处的磁场大小为
故在边界 处,
电子沿束流方向运动, 所受磁力大小为
其方向为径向向内.
所以电子所受总力大小为
即
利用
并记
则
总力方向为径向向外.
电子静能为
故
于是
故电场力大小为
方向为径向向外.
磁力大小为
方向为径向向内.
因此总力为
方向为径向向外.
当电子动能为 10 MeV 时
于是
故电场力大小为
方向为径向向外.
磁力大小为
方向为径向向内.
因此总力为
方向仍为径向向外.